傅立葉變換是眾多學科中常用的一個工具，物理學家、數學家、工程師和計算機科學家都對其情有獨鐘。這個工具功能強大，不過使用起來卻頗為復雜。在Python語言中實現傅立葉變換，既是一項挑戰，也帶來了不少樂趣。

傅立葉變換的地位和意義

傅立葉變換在多個科學領域都至關重要。在物理學中，特別是在信號處理方面，它的應用十分廣泛。工程領域在分析復雜系統時，也高度依賴它。許多工程師在處理復雜信號時，都借助了傅立葉變換。此外，計算機科學家在進行數據處理、圖像識別等算法研究時，也會用到它。在眾多大型項目中，它的作用顯而易見。它就像一把萬能鑰匙，能夠打開眾多解決問題的門。同時，隨著科技的發展，越來越多的研究和項目都迫切需要它的支持。

?當函數及其傅立葉變換都被離散化的對應物所取代時，這被稱為離散傅立葉變換（DFT）。離散傅立葉變換由于計算它的一種非常快速的算法而成為數值計算的重要工具，這個算法被稱為快速傅立葉變換（FFT），這個算法最早由高斯（1805年）發現，我們現在使用的形式是由Cooley和Tukey公開的

定義相關函數

必須先明確傅立葉變換及其逆變換的函數定義。這些定義對復數函數的積分方式有明確規定，構成了傅立葉變換和逆變換的基礎。這些公式并不簡單，它們是計算實施的核心。在實際應用中，這些定義如同游戲規則，必須嚴格遵守。無論是學術研究還是實際工程計算，每個人都必須按照這些定義進行計算。只有準確理解，后續操作才能做到準確無誤。

數值計算的困境與離散化需求

數值計算那些積分挺復雜的。尤其在高維度的情形中，問題會更明顯。這時，離散化變得特別重要。離散化就像是把一個大問題拆成幾個小問題來解決。這樣原本復雜且難以處理的問題就變得簡單些了。比如在處理大量數據時，離散化能將原本難以處理的計算分解成幾個小部分，方便計算機操作和計算，從而提高效率。

離散傅立葉變換的關鍵

Numpy的文檔提到，離散傅立葉變換是數值計算傅立葉分析的基礎。這種變換有其特定的計算方式。在實施過程中，對序列和變量進行采樣等步驟至關重要。在眾多實時信號處理的應用場景中，數據不斷更新變化，因此，快速進行離散傅立葉變換變得極為重要。它能快速處理所收集的數據，并給出有價值的信息。比如，在醫療設備監測人體生理信號時，這種高效的計算方式能確保及時獲得準確的結果。

Python實現與驗證

在Python編程中，啟動個人編寫代碼的實踐非常關鍵。舉個例子，先對某個特定函數進行傅立葉變換的計算，然后繪制出相應的圖形。在這個過程中，可以檢查自己實現的效果。比如，通過對比不同取值范圍的結果，比如采樣值和連續體上的解。此外，還要檢查傅立葉逆變換，將得到的結果與原函數進行對照。在眾多科學實驗中，當需要將數據轉換成可視化的圖形時，這樣的實現和驗證步驟是必須的，目的是為了保證結果的精確性和可信度。

?import numpy as np
?import matplotlib.pyplot as plt
?
?
?def fourier_transform_1d(func, x, sort_results=False):
?
? ? ?"""
? ?  Computes the continuous Fourier transform of function `func`, following the physicist's convention
? ?  Grid x must be evenly spaced.
?
? ?  Parameters
? ?  ----------
?
? ?  - func (callable): function of one argument to be Fourier transformed
? ?  - x (numpy array) evenly spaced points to sample the function
? ?  - sort_results (bool): reorders the final results so that the x-axis vector is sorted in a natural order.
? ? ? ?  Warning: setting it to True makes the output not transformable back via Inverse Fourier transform
?
? ?  Returns
? ?  --------
? ?  - k (numpy array): evenly spaced x-axis on Fourier domain. Not sorted from low to high, unless `sort_results` is set to True
? ?  - g (numpy array): Fourier transform values calculated at coordinate k
? ?  """
? ? ?x0, dx = x[0], x[1] - x[0]
? ? ?f = func(x)
? ? ?
? ? ?g = np.fft.fft(f) # DFT calculation
?
? ? ?# frequency normalization factor is 2*np.pi/dt
? ? ?w = np.fft.fftfreq(f.size)*2*np.pi/dx
?
? ? ?# Multiply by external factor
? ? ?g *= dx*np.exp(-complex(0,1)*w*x0) 
? ? ?
? ? ?if sort_results: ? ?
? ? ? ? ?zipped_lists = zip(w, g)
? ? ? ? ?sorted_pairs = sorted(zipped_lists)
? ? ? ? ?sorted_list1, sorted_list2 = zip(*sorted_pairs)
? ? ? ? ?w = np.array(list(sorted_list1))
? ? ? ? ?g = np.array(list(sorted_list2))
? ? ? ? ?
? ? ?return w, g
?
?
?def inverse_fourier_transform_1d(func, k, sort_results=False):
? ? ?"""
? ?  Computes the inverse Fourier transform of function `func`, following the physicist's convention
? ?  Grid x must be evenly spaced.
?
? ?  Parameters
? ?  ----------
?
? ?  - func (callable): function of one argument to be inverse Fourier transformed
? ?  - k (numpy array) evenly spaced points in Fourier space to sample the function
? ?  - sort_results (bool): reorders the final results so that the x-axis vector is sorted in a natural order.
? ? ? ?  Warning: setting it to True makes the output not transformable back via Fourier transform
?
? ?  Returns
? ?  --------
? ?  - y (numpy array): evenly spaced x-axis. Not sorted from low to high, unless `sort_results` is set to True
? ?  - h (numpy array): inverse Fourier transform values calculated at coordinate x
? ?  """
? ? ?dk = k[1] - k[0]
? ? ?
? ? ?f = np.fft.ifft(func) * len(k) * dk /(2*np.pi)
? ? ?x = np.fft.fftfreq(f.size)*2*np.pi/dk
?
? ? ?if sort_results: ? ?
? ? ? ? ?zipped_lists = zip(x, f)
? ? ? ? ?sorted_pairs = sorted(zipped_lists)
? ? ? ? ?sorted_list1, sorted_list2 = zip(*sorted_pairs)
? ? ? ? ?x = np.array(list(sorted_list1))
? ? ? ? ?f = np.array(list(sorted_list2))
? ? ?return x, f

參考資料的價值

對于想要深入了解機器學習基礎計算和算法的學者來說，Numpy和SK-learn的資源就像是一座寶庫。這些資料不僅展示了方法的具體應用，而且包含了詳細的解釋。例如，文章中許多數學公式和理論都來源于Numpy的相關資料。在眾多大專院校的學生進行相關課題研究時，這些資料是必不可少的參考資料。

熟悉了Python中傅立葉變換連續函數的諸多要點，你是否已經迫不及待，想要親自動手實踐？期待你能為這篇文章點贊、分享，并留下你的寶貴建議。

?N = 2048
?
?# Define the function f(x)
?f = lambda x: np.where((x >= -0.5) & (x <= 0.5), 1, 0)
?x = np.linspace(-1, 1, N) 
?plt.plot(x, f(x));